Fracciones equivalentes.

Las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor o representan la misma parte de un objeto. 

Si un pastel se corta en dos partes, cada parte es la mitad del pastel. Si el pastel se corta en cuatro partes, entonces dos partes representan la misma cantidad de pastel que representaba ½. Decimos que un ½ es equivalente a 2/4.

Se determina que dos fracciones son equivalentes al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. Este número debe ser tal que los numeradores serán iguales después de la multiplicación. Por ejemplo si comparamos ½ y 2/4, multiplicaríamos ½ por 2/2 que nos daría como resultado 2/4, entonces son equivalentes.

Para comparar 1/2 y 3/7 multiplicaríamos 1/2 por 3/3 para obtener como resultado 3/6. Como 3/6 no es lo mismo que 3/7, las fracciones no son equivalentes.

• Son fracciones equivalentes a 1/2: 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12 ...
• Son fracciones equivalentes a 1/3: 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, ...
• Son fracciones equivalentes a 1/4: 2/8, 3/12, 4/16, 5/20, ...
• Son fracciones equivalentes a 1/5: 2/10, 3/15, 4/20, 5/25, ...
• Son fracciones equivalentes a 2/5: 4/10, 6/15, 8/20, 10/25, ....

Para las actividades propuestas es necesario conocer estas fracciones. 

Reducción a denominador común.

Reducir dos o más fracciones a común denominador

Es hallar otras fracciones   equivalentes a las primeras, que tengan el mismo denominador.

Esta operación resulta imprescindible a la hora de poder realizar operaciones con fracciones que es una de las intenciones que tiene este blog, tenemos dos métodos, según para el curso que sea utilizaremos uno u otro.

Método 1:

Como denominador el producto de todos los denominadores
Como numerador, el producto de dicho numerador por todos los denominadores menos por el suyo.

Ejemplo: Reducir a común denominador las fracciones    1/2, 4/5, 7/8, 3/10

Denominador común: el producto de los denominadores: 2·5·8·10 = 800

Para la primera fracción; numerador = 1·5·8·10 = 400, luego  1/2 = 400/800
Para la segunda fracción; numerador = 4·2·8·10 = 640, luego  4/5  = 640/800

Para la tercera fracción; numerador = 7·2·5·10 = 700, luego  7/8 = 700/800
Para la última fracción; numerador = 3·2·5·8 = 240, luego  3/10 = 240/800

Luego las fracciones equivalentes a  1/2, 4/5, 7/8, 3/10  con denominador 800 son  respectivamente  400/800, 640/800, 700/800, 240/800

En este método, en general el denominador es un número grande, y vamos a estudiar otro más corto y con denominadores más pequeños.

Método 2: (Este método es más correcto.)

La reducción a denominador común  es el cálculo de mínimo común múltiplo de los denominadores.

Pasos a seguir:

·        Se halla  el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de los denominadores, que será el denominador común.

·        Para hallar el nuevo numerador, se divide el m.c.m. entre cada denominador y el cociente obtenido se multiplica por su correspondiente numerador.

Ejemplo:

Las fracciones son:  1/2, 4/5, 7/8, 3/10

El m.c.m. (2, 5, 8, 10) = 40  que será el denominador común

El numerador correspondiente a la primera fracción es: 40:2·1 = 20   (misma jerarquía, por tanto se opera de izquierda a derecha  primero se divide y a continuación se multiplica)

El numerador correspondiente a la segunda fracción es: 40:5·4 = 32
El numerador correspondiente a la tercera fracción es: 40:8·7 = 35
El numerador correspondiente a la última fracción es: 40:10·3 = 12

Tenemos que  las fracciones equivalentes a  1/2, 4/5, 7/8, 3/10  con denominador 40 son  respectivamente  20/40, 32/40,35/40, 12/40

Estas son más sencillas y más cómodas para operar con ellas. Además no hace falta el uso de la calculadora y así se desarrolla la agilidad mental.

Se ha aplicado la propiedad fundamental de las fracciones: multiplicar numerador y denominador por un mismo número  ≠ 0, obteniendo una fracción equivalente.

Si nos fijamos en la primera fracción,  se ha multiplicado numerador y denominador por 10.
Lo mismo ocurre con las otras: la segunda se ha multiplicado numerador y denominador por  8; en la tercera por 5 y en la última por 4.

También podemos tomar cualquier otro denominador múltiplo de 40 (su mínimo común múltiplo) como  80, 120, 160, 200, 240, etc...

Ejemplo 2: Reducir a común denominador las fracciones    2/3, 4/5, 7/4
El m.c.m. (3, 5, 4) = 60 que será el denominador común.

El numerador correspondiente a la primera fracción es: 60:3 = 20; 20·2 = 40
El numerador correspondiente a la segunda fracción es: 60:5 = 12; 12·4 = 48
El numerador correspondiente a la tercera fracción es: 60: 4 = 15; 15·7 = 105

Las fracciones equivalentes son: 40/60, 48/60, 105/60

Suma y resta de fracciones.

Para sumar y restar fracciones hay que distinguir entre:

Fracciones con igual denominador

Fracciones con distinto denominador 

1.- Fracciones con igual denominador

En este caso para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador y se suman o restan sus numeradores.

a) Veamos un ejemplo:

Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

 b) Veamos otro ejemplo:

Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

2.- Fracciones con distinto denominador

En este caso para sumar o restar fracciones:

Lo primero que hay que hacer es buscar un denominador común a todas ellas.

Luego sustituir las fracciones originales por fracciones equivalentes con este denominador común.

Y ¿cómo se calcula este denominador común?

Una manera sencilla de calcularlo es multiplicar todos los denominadores; el resultado es el denominador común.

Hay una forma más correcta de calcularlo a través del mínimo común múltiplo. Es una forma más compleja que queda para cursos superiores.

Una vez obtenido el denominador común hay que calcular las fracciones equivalentes. Para cada fracción haremos lo siguiente.

Sustituimos su denominador por el denominador común.

Calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el denominador común por el denominador original de cada fracción. El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original, obteniendo el numerador de la fracción equivalente.

Es más fácil ver todo esto con un ejemplo:

Vamos a calcular las fracciones equivalentes:

Primero calculamos el denominador común: 4 x 3 x 5 = 60

Ahora vamos a calcular el numerador equivalente de cada fracción:

Primera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 4 =15

Multiplicamos este resultado por su numerador: 15 x 2 = 30

Segunda fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 3 = 20

Multiplicamos este resultado por su numerador: 20 x 6 = 120

Tercera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 5 =12

Multiplicamos este resultado por su numerador: 12 x 3 = 36

Ya podemos sustituir las fracciones originales por sus fracciones equivalentes:

Y procedemos a la suma:

Multiplicación de fracciones.

El producto de fracciones es una operación matemática con números fraccionarios, que se da entre dos números de carácter racional, sean estos valores de carácter numérico o algebraico y de cuya operación se obtiene como resultado a otro número fraccionario.

En el caso de las fracciones de igual denominador o fracciones homogéneas, se procede de la misma manera que para las fracciones de diferente denominador o fracciones heterogéneas; de esta manera se multiplican los denominadores por los denominadores y los numeradores por los numeradores en línea recta y finalmente se simplifica la fracción si esto fuera necesario.

Además sucede lo mismo para la multiplicación de más de dos fracciones, donde se multiplican todos los denominadores entre sí y de la misma forma con los numeradores.

Aquí os dejo un video explicativo con ejemplos: http://goo.gl/MKF7nU

Propiedades de la Multiplicación de Fracciones

El producto de fraccionarios, también posee propiedades que deben ser tomadas en cuenta al momento de resolver operaciones multiplicativas.

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab×cd=ef

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab×cd=cd×ab

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab×(cd+ef)=(ab×cd)+(ab×ef)

Elemento neutro.- en la multiplicación de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab 

División de fracciones.

Antes de explicar la división de fracciones veremos un concepto importante para poder entender la división, este concepto es la inversa de una fracción.

La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad.

La fracción que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de ella, es su fracción inversa.

Lógicamente, si una fracción es inversa de otra, también son sus inversas todas las equivalentes a ésa.

·       La fracción de valor 0 es la única que no tiene inversa.

DIVISIÓN DE FRACCIONES. 

Para dividir fracciones:

• Invierte (es decir da vuelta) la segunda fracción y multiplica las fracciones.
• Multiplica los numeradores de las fracciones
• Multiplica los denominadores de las fracciones
• Coloca el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores.
• Simplifica la fracción

Ejemplo: Divide 2/9 y 3/12

• Invierte la segunda fracción y multiplica (2/9 ÷ 3/12 = 2/9 * 12/3)
• Multiplica los numeradores (2*12=24)
• Multiplica los denominadores (9*3=27)
• Coloca el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores (24/27)
• Simplifica la fracción (24/27 = 8/9)
• La forma fácil.  Después de invertir, es más fácil simplificar antes de hacer la multiplicación. Simplificar es dividir un factor del numerador y un factor del denominador por el mismo número.
• Por ejemplo: 2/9 ÷ 3/12 = 2/9*12/3 = (2*12)/(9*3) = (2*4)/(3*3) = 8/9

Aquí dejo un video donde lo explican paso a paso y con ejemplos más ampliados: http://goo.gl/s4tflV

Fracciones (propias e impropias)

En la figura siguiente hemos dividido el círculo (que representa a una tortilla) en 5 partes iguales y se han coloreado dos de ellas: para expresar qué parte del círculo representa la parte coloreada empleamos la  fracción 2/5. Decimos que el sector circular coloreado representa 2/5 del círculo (2/5 de la tortilla).

      

Si dividimos ahora el círculo en 10 partes iguales, tomando 4 de ellas podemos formar el mismo sector que antes: las dos fracciones 4/10 y 2/5 representan la misma cantidad, decimos que son fracciones equivalentes. Y podríamos representar ese mismo sector de muchas otras formas. En esta aplicación vamos a comparar fracciones, con lo que podremos ordenarlas o ver si son equivalentes.

Figuras como las anteriores son muy habituales para representar gráficamente una fracción. Pero no debemos olvidar que una fracción es una forma de expresar un número y, como tal número, podemos representarlo sobre la recta numérica.

PUZZLE DE FRACCIONES EQUIVALENTES

Objetivos del juego: Reforzar la simplificación de fracciones y el concepto de fracciones equivalentes.

El juego es individual. Cada alumno recibe una hoja con las 12 piezas del puzle desordenadas.

Es importante que cada alumno, antes de empezar a recortar las fichas, simplifique bien todas las fracciones, escriba las fracciones simplificadas en cada una y confronte sus resultados con otro compañero para evitar que, al tener algún error, no pueda conseguir la solución del rompecabezas.

En una segunda fase, una vez recortadas todas las fichas, el alumno debe formar un rectángulo similar al rectángulo inicial pero de forma que cada ficha esta rodeada por resultados equivalentes. Por ejemplo: 

Gana el que consiga primero obtener el puzle acabado.

Normalmente, el juego necesita de toda la hora de clase. Si algún alumno no acaba de resolver el puzle en clase, debe numerar las fichas ya colocadas para poder terminarlo después sin perder el trabajo hecho. El rompecabezas tiene una única solución.

Aquí tienes las 12 fichas de un puzle. Casa ficha tiene en cada uno de sus cuatro lados una fracción que muchas veces no está simplificada.

Simplifica las fracciones y escribe a lápiz en cada ficha tus resultados. 

MEMORY DE FRACCIONES

Con este juego se trata de conseguir que los alumnos y alumnas refuercen el concepto de fracciones equivalentes y aprendan a simplificar una, fracción hasta escribirla en su forma irreducible

Objetivos:

- Relacionar fracciones equivalentes entre sí.

- Reforzar la memoria y la observación.

Material necesario: Una baraja de 32 cartas, es decir 16 parejas de fracciones equivalentes.

Reglas del juego:

- Juego para dos, tres o cuatro jugadores.

- Se colocan las 32 cartas con fracciones boca abajo sobre la mesa.

- El primer jugador saca dos cartas. Si se trata de dos fracciones equivalentes, se lleva la pareja. En el caso contrario vuelve a colocar las cartas en su sitio sobre la mesa.

- Si el jugador se ha equivocado, pierde su turno.

- El juego acaba cuando ya no quedan parejas sobre la mesa.

- Gana el jugador que ha conseguido más parejas.

- Para la obtención de la baraja, se fotocopia ampliándolas si se estima necesario las cartas y se plastifican para su mejor conservación

Como es fácil observar, existen 4 fracciones que aparecen en dos parejas. Esto hace que sea más fácil emparejar estas cuatro fracciones.